1 引言
分数阶微积分的概念已经有300多年的历史，近年来随着在工程领域的广泛应用，已经引起控制界众多研究者的关注[1]，如分数阶系统的稳定性分析[2]、 分数阶系统辨识[3]、 分数阶信号处理[4]、 分数阶控制器设计[5, 6]等，其中在分数阶控制器设计的研究中，最具代表性的当属Podlubny提出的分数阶PIλDμ控制器[7]，在此基础上，文[8]针对常见的1阶时滞过程提出了分数阶PIλDμ控制器. 文[9, 10]针对一类分数阶系统，分别提出了一种FO-PD(fractional order proportional-derivative)控制器设计整定方法.
与整数阶PID(proportional-integral-derivative)控制器相比，分数阶PID控制器由于增加了微积分阶次参数，因此其整定的难度加大，目前主要的整定方法有Z-N法[11]、 稳定裕量法[12]、 稳定域内参数整定法[13]、 ITAE(integrated time and absolute error)指标最优法[14]等，但是这些方法都存在着复杂的运算. 另外，考虑系统参数摄动、 外界干扰等不确定性因素的影响以及对系统鲁棒性的要求，文[15]提出了基于输出反馈的分数阶(PI)γ和(PIDf)γ控制器的设计方法，该方法在改善系统动态响应性能的同时，保证了系统的鲁棒性.
内模控制是一种基于过程数学模型进行控制器设计的新型控制策略，由于它设计简单、 调整方便、 跟踪和控制性能好，因此得到广泛的应用. 将内模控制与分数阶控制相结合，不但保证系统良好的控制性能，而且有效地降低了分数阶控制器参数整定的复杂度.
本文针对常见的1阶系统、 2阶系统、 1阶加积分系统，根据内模控制原理设计了一种分数阶(PID)γ控制器，并基于系统的相位裕量(φm)和截止频率(ωc)，实现了控制器参数的整定，该方法可在改善控制系统动态性能的同时，保证系统的鲁棒性.
2 分数阶微积分和分数阶PID控制器分数阶微积分的Riemann-Liouville(R-L)定义为： 若f(t)在[a，t]上连续可微，则R-L分数阶微分表示为
式中，a为初值，分数阶阶次γ满足n-1<γ
式中，若x为正整数，则Γ(x)=(x-1)!.
对式(1)进行拉普拉斯变换：
令L[f(t)]=F(s)，在零初始状态下，式(3)中的求和项为零，则其可简化为
基于分数阶微积分的基础理论，Podlubny提出的分数阶PIλDμ控制器的传递函数为
式中，Kp、 Ki、 Kd分别为比例、 积分和微分增益，λ和μ分别为积分和微分阶次，且为大于0的实数.
在分数阶PIλDμ控制器的基础上，文[15]给出了一种改进型分数阶(PID)γ控制器，其传递函数为
式中，γ为分数阶积分阶次.
内模控制系统结构图如图 1所示，其中Q(s)为内模控制器，P(s)为被控过程，M(s)为过程模型，D(s)为过程的输入扰动，R(s)和Y(s)分别为系统的给定输入和输出.
根据内模控制原理，内模控制器Q(s)可按下式进行设计：
式中，M-(s)为过程模型中稳定的最小相位部分，f(s)为低通滤波器，本文采用以下形式：
式中，1<γ<2，η为滤波器时间常数.
图 1所示的内模控制系统可以等效为图 2所示的常规反馈控制系统，其中C(s)为等效反馈控制器.
C(s)和Q(s)有如下关系：
针对常见的1阶系统、 2阶系统和带积分的1阶系统，其传递函数分别如下：
式中，T、 T1和T2为时间常数，K为系统增益.
当系统模型精确时，即M(s)=P(s)且模型可逆，由式(7)和式(8)可得相应的内模控制器分别为
由式(9)得相应的反馈控制器分别为
可见式(16)～(18)均为分数阶(PID)γ控制器，该控制器仅包含η和γ两个可调参数，与式(5)和式(6)所示的分数阶PID控制器相比，为降低控制器整定的难度提供了可能.
在设计和分析控制系统时，鲁棒性总是首要关注的问题，因为用于控制器设计的模型往往不够精确，而且所有物理系统的参数常常会随着工作条件和时间而变化，这些因素总会使系统偏离设计要求，甚至使系统不稳定而无法正常工作. 稳定裕量φm是一个重要的鲁棒性指标，可以用来整定控制器参数，使其满足系统的性能要求.
开环系统可表示为
由稳定裕量和截止频率的基本理论可得系统开环传递函数G(s)的相位和幅值指标分别如下[9]：
式中，ωc为系统的截止频率.
另外，在截止频率ωc处，相位的导数为0，即：
基于式(10)和(16)、 式(11)和(17)、 式(12)和(18)，得到系统的开环传递函数为
由式(23)可知，Arg(G(jω))=-γπ/2，且在截止频率ωc处，相位的变化率为0，即相位Bode图在对应截止频率附近有一个水平区域，闭环系统对增益的变化具有很强的鲁棒性. 基于式(20)和式(21)得
由式(24)和式(25)得：
如果给定系统的相位裕量φm和截止频率ωc的值，由式(26)可以得到控制器的参数γ和η.
为了验证本文方法的有效性，针对典型系统，利用Matlab对所提方法进行仿真分析，选择时间乘以误差绝对值积分(ITAE)和超调量(σ％)作为验证系统闭环性能的质量指标，并与现有的多种方法进行比较.
例1 考虑文[16]中的1阶系统模型：
由式(16)得分数阶(PI)γ控制器为
文[16]基于频域准则设计的分数阶PIλ控制器为
考虑比较的公平性，利用文[16]中给出的截止频率ωc=10 rad/s，相位裕量φm=60°，根据式(26)进行本文控制器参数整定，得γ=1.333 3和η=0.046 4. 设系统的设定值输入r(t)=1(t)，输入扰动d(t)=-0.5(t-2)，系统的单位阶跃响应曲线如图 3所示，系统的性能指标如表 1所示.
由图 3可见，本文方法和文[16]方法均表现出较好动态响应性能，但本文方法稳态无差，同时具有较强的干扰抑制特性. 同时表 1表明本文方法的系统性能指标均优于文[16]方法.
为了验证系统的鲁棒性，使系统参数T和K分别摄动20％和15％，即T=1.2，K=1.15，此时系统的单位阶跃响应曲线如图 4所示，由图 4和表 1可见当参数发生变化时，文[16]方法稳态误差增大，而本文方法具有更好的鲁棒性.
例2 考虑文[17]中的2阶系统模型：
由式(17)得分数阶(PID)γ控制器为
文[17]首先将此2阶系统模型降阶为1阶加时滞模型，然后将Bode理想传递函数作为期望特性设计了分数阶PIλ控制器为
同样根据文[17]给出的截止频率ωc=9.95 rad/s，并由γ=1.45和式(24)得相位裕量φm=49.5°，根据式(26)得η=0.035 7. 设系统的设定值输入r(t)=1(t)，输入扰动d(t)=-0.5(t-4)，系统的单位阶跃响应曲线如图 5所示，系统性能指标见表 2.
由图 5可见本文方法具有良好的动态响应性能，稳态无差，同时具有较强的抗干扰能力. 表 2表示本文方法的系统性能指标均优于文[17]方法.
当系统参数K、 T1和T2分别摄动30％、 20％和10％时，即K=1.3、 T1=0.24、 T2=1.32，系统的单位阶跃响应曲线如图 6所示. 由图 6和表 2可见当参数发生变化时，使用文[17]方法时系统的动态响应性能变差，稳态误差增大，本文方法则表现出更好的鲁棒性.
例3 考虑文[18]中直流电机位置伺服系统模型：
由式(18)得分数阶(PD)γ控制器为
文[18]基于系统稳定裕量设计分数阶PDμ控制器为
同样根据文[18]给出的截止频率ωc=10 rad/s，相位裕量φm=70°，根据式(26)进行本文控制器参数整定，得γ=1.222 2和η=0.06. 设系统的设定值输入r(t)=1(t)，输入扰动d(t)=-1(t-5)，系统的单位阶跃响应曲线如图 7所示，系统性能指标如表 3所示. 由图 7可见两种方法均具有良好的动态响应性能，但文[18]方法抗干扰能力较差. 表 3中本文方法的超调量略高于文[18]方法，但ITAE性能指标明显优于文[18]方法. 当系统的参数K和T分别摄动20％和10％时，即K=1.824、 T=1.44，系统的单位阶跃响应曲线如图 8所示. 由图 8和表 3可见，当参数发生变化时，文[18]方法表现出较差的干扰抑制特性.
6 结论
针对常见的1阶、 2阶、 1阶加积分系统，基于内模控制原理，采用分数阶滤波器代替整数阶滤波器给出了一种分数阶(PID)γ控制器的设计方法，并根据系统的稳定裕量，实现了分数阶控制器参数的整定，保证了系统的鲁棒性. 仿真结果表明所提方法设计简单，整定方便，可使系统获得良好的动态响应特性和克服系统参数变化的鲁棒性.
图 1 内模控制结构Fig. 1 Structure of IMC 
图 2 等效内模控制结构Fig. 2 Equivalent structure of IMC 
图 3 例1标称系统的单位阶跃响应Fig. 3 Unit step response of the nominal system for example 1 
图 4 例1摄动系统的单位阶跃响应Fig. 4 Unit step response of the perturbation system for example 1 
图 5 例2标称系统的单位阶跃响应Fig. 5 Unit step response of the nominal system for example 2 
图 6 例2摄动系统的单位阶跃响应Fig. 6 Unit step response of the perturbation system for example 2 
图 7 例3标称系统的阶跃响应曲线Fig. 7 Unit step response of the nominal system for example 3 
图 8 例3摄动系统的单位阶跃响应Fig. 8 Unit step response of the perturbation system for example 3
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