1 引言

近年来，针对正系统的动力学性质的研究，特别是其稳定性的研究引起了国内外学者的广泛关注^{[1, 2, 3]}. 文^[4]中，Farina和Rinaldi对无时滞线性正系统的稳定性进行了研究，给出了状态渐近稳定和对角二次稳定的等价关系. 文[5, 6]利用线性Copositive Lyapunov函数研究无时滞切换系统的稳定性，建立了系统指数稳定判据. 文[7, 8]利用Metzler矩阵和Hurwitz矩阵的性质研究含有执行器饱和的正系统稳定性，通过线性规划方法导出了保证闭环系统为正系统并且状态渐近稳定的状态反馈控制器. 由于实际系统中普遍存在时滞现象，而时滞往往导致系统不稳定. 因此，文[9, 10]建立了含有界时变时滞正系统渐近稳定的充要条件，通过与无时滞正系统稳定性条件的比较，得出了有界时滞不影响正系统渐近稳定性的结论. 文[11]利用线性Copositive Lyapunov泛函法以及平均驻留时间理论，给出了一类时变时滞切换正系统控制器的设计方法，使得闭环系统指数稳定且满足L₁性能指标.文[12]采用平均驻留时间方法进一步研究了时变时滞正系统的镇定问题. 文[13, 14]则考虑了含有定常时滞的正系统输入受限情况下的镇定问题.

以上文献均是建立在系统模型精确获得且系统状态或输入不受限制的基础上. 但现实生活中，由于受到原件老化和灵敏度等因素的影响，实际系统往往存在建模不确定性，而模型的不确定性将严重影响系统的稳定性. 此外，控制元件的物理限制将导致执行器存在如饱和、 死区等非线性特征，从而导致系统性能下降或失稳. 因此在系统稳定性研究中，系统不确定性^{[15, 16, 17]}和输入或状态受限^[18]问题是不可忽视的. 但对于同时存在模型不确定性和控制、 状态受限的正系统，其鲁棒镇定问题还少有研究.

因此，本文着力研究一类含有时变时滞的参数不确定系统输入和状态受限下的鲁棒镇定问题. 利用正系统稳定性理论和线性规划方法，给出鲁棒状态反馈控制器设计算法. 该算法既能保证闭环系统为正系统又能确保系统状态渐近稳定，同时输入或状态受限. 仿真结果表明该算法是有效的.

本文中表示集合｛1，2，…，p｝，其中p为正整数； 表示集合｛0，1，2，…，p｝；Rⁿ₊(Rⁿ_0，+)表示n维正(非负)向量集；A_m×n=(a_ij)_m×n，B_m×n=(b_ij)_m×n，C_m×n=(c_ij)_m×n，A_m×n()B_m×n表示a_ij>(≥)b_ij(i∈m，j∈n)， A_m×n∈[B_m×n，C_m×n]表示a_ij∈[b_ij，c_ij](i∈，j∈n)，M表示Metzler矩阵集合.

考虑连续系统：

其中，x(t)∈Rⁿ是状态变量，A_i∈R^n×n(i∈)是系统矩阵，时变时滞<_i(t)≥0(i∈)是连续有界函数，φ： [-，0]→R_0，+()是系统初始状态.

定义1^[15]若对任意φ(t)0(t∈[-，0])有x(t)0(t≥0)成立，则称系统(1)为正系统.

定义2 设A_n×n=(a_ij)_n×n. 若a_ij≥0(i≠j)，则称A为Metzler矩阵.

引理1^[20] 若A为Metzler矩阵，则e^At0(t≥0).

引理2^[19]系统(1)为正系统当且仅当A₀∈M，A_i0(i∈).

引理3^[14] 对系统(1)，下述结论等价： (i) 若0φ(t)(t∈[-，0])，则0x(t)<x(t≥0) (ii) A₀∈M，A_i0(i∈p)，(A_i)<x0 其中，<x∈Rⁿ₊.

引理4^[14] 若系统(1)为正系统，则系统(1)渐近稳定当且仅当存在向量λ∈Rⁿ₊，使得

考虑一类不确定连续系统：

其中，A^*_i∈[A_i，A_i](i∈)为区间不确定矩阵，A_i与A_i为已知常数矩阵. 连续有界时滞_i(t)(i∈t≥0)的所有下界inf_t≥0i(t)(i∈都满足inf_t≥0i(t)>0(i∈).

引理5 对任意A^*_i∈[A_i，A_i](i∈)，系统(2)为正系统当且仅当A₀∈M且A_i0(i∈).

必要性证明： 采用反证法. 若A₀=(A⁽⁰⁾_ij)_n×n M，则至少存在一个元素A⁽⁰⁾_ij <0(i≠j). 不失一般性，假设A⁽⁰⁾₁₂<0. 取A^*_i=A_i(i∈)，则系统(2)为

取x(0)=φ(0)=[0，k，0，…，0]^T(k>0)，x(t)≡φ(t)≡0，t∈[-，0)，考虑(0)的第1个分量₁(0). 显然₁(0)=A⁽⁰⁾₁₂k<0，即x₁(t)在零点某个右邻域(0，δ)内严格单调递减. 结合初始条件的设定x₁(0)=0，有x₁(t)<0(δ>t>0)，与正系统定义矛盾，从而A₀∈M. 类似地可以证明A_i0(i∈).

充分性证明： 若A₀∈M，由于A₀A^*₀，故A^*₀∈M. 若A_iA0(i∈)，则A^*_iA_i0. 结合引理2可知，对任意A^*_i∈［A_i，A_i](i∈)，系统(2)是正系统. 引理5证毕.

引理6 若对任意A^*_i∈[A_i，A_i](i∈)，系统(2)是正系统，则下述结论等价：

(i) 系统(2)渐近稳定.

(ii) 存在向量λ∈Rⁿ₊，满足：

证明

(ii)(i)：若存在向量λ∈Rⁿ₊，满足，则根据A_iA^*_i，有0A_iλA^*_iλ. 结合引理4可知： 对任意A^*_i∈[A_i，A_i](i∈)，系统(2)渐近稳定.

(i)(ii)：若对任意A^*_i∈[A_i，A_i](i∈)，正系统(2)渐近稳定. 不妨设A^*_i=A_i，根据引理4可知： 引理6证毕.

定理1 对系统(2)，下述结论等价：

(i) 对任意A^*_i∈[A_i，A_i](i∈)，若0φ(t)<x(t∈[-，0])，则：

0x(t)<x，t≥0

(ii)A₀∈M，A_i0(i∈)，(A_i)<x0(3)

其中，<x∈Rⁿ₊.

证明

(i)(ii)：取A^*_i=A_i(i=)，φ(t)=<x(t∈[-，0])，则

又

综合式(4)、 式(5)可知x(0)的右导数₊(0)0， 即

结合条件(i)与正系统定义，易知对任意A^*_i∈[A_i，A_i]，系统(2)是正系统. 根据引理5有A₀∈M，A_i0(i∈).

(ii)(i)： 若A₀∈M，A_i0(i∈)，根据引理5易知对任意A^*_i∈[A_i，A_i]，系统(2)为正系统. 另一方面，对于任意A^*_i∈[A_i，A_i](i∈)，系统(2)的状态向量为 x(t)=e^A*₀^tφ(0)+∫^t₀e^A*₀^sA^*_ix(t-s-_i(t-s))ds

其中，A*0为Metzler矩阵. 当eA*0s0(t≥0)，有：

综合式(8)、 式(9)，可知：

得到 -≤t-s-_i(t-s)≤0

由(i)可知x(t-s-_i(t-s))<x，则： ∫^t₀e^A*₀^sA^*_i(x(t-s-_i(t-s))-<x)ds0 结合式(10)易知x(t)<x(t∈[0，ω]).

下面利用数学归纳法，证明上述结论对t≥0恒成立.

假设当t∈[(n-1)ω，nω]时结论成立，则当t∈[nω，(n+1)ω]时，有：

-≤t-s-_i(t-s)≤0

故根据(i)有x(t-s-_i(t-s))-<x0，进而： ∫^t_nωe^A*₀sA^*_i(x(t-s-_i(t-s))-<x)ds0

再结合归纳假设： ∫^nω₀e^A*₀sA^*_i(x(t-s-_i(t-s))-<x)ds0 和式(11)可知x(t)<x(t≥0). 定理1证毕

(i) 对任意A^*_i∈[A_i，A_i](i∈)，系统(2)为正系统且状态渐近稳定.

证明 由引理5和引理6易知(i)与(ii)等价，证明略.

注1 引理5给出了确保不确定系统(2)为正系统的充要条件. 在不确定系统(2)为正系统的前提下，引理6建立了保证系统状态渐近稳定的充要条件.定理2在此基础上，进一步建立了保证不确定系统(2)为正系统且渐近稳定的充要条件.

注2 由文[10]得知： 连续有界时滞不影响连续正系统的渐近稳定. 故对系统(2)，若时变时滞_i(t)仅满足_i(t)≥0(i∈)，定理1、 定理2仍然成立.

注3 定理1建立了保证不确定系统(2)的状态非负并且有界的充要条件. 定理2建立了不确定系统(2)的状态非负并且渐近稳定的充要条件. 不难看出条件式(12)比条件式(3)要求更为严格. 若式(12)满足，则系统(2)为正系统且状态渐近稳定. 而式(3)只保证系统为正系统并且状态有界.

考虑系统：

首先给出保证闭环系统(13)为正系统并且状态有界、 输入受限的充要条件.

定理3 任意给定向量0x_i∈R^m₊(i∈)，对闭环系统(13)，下述结论等价： (i) 当0φ(t)<x(t∈[-，0])时： 0x(t)<x(t≥0)，0u_i(t)x_i，i∈，t≥0 同时成立，其中<x∈Rⁿ₊.

(ii) 存在列向量k⁽ⁱ⁾_j∈R^m_0，+(i∈，j∈n)，<x∈Rⁿ₊，使得

成立，其中A_l=(A^(l)_ij)_n×n(l∈，i∈n，j∈n)，b^(l)_i(l∈，i∈n)表示矩阵B_l的第i个行向量，相应的控制增益：

证明 (ii)(i)： 易见A⁽⁰⁾_ij<x_j+b⁽⁰⁾_ik⁽⁰⁾_j≥0(i，j∈n，i≠j)等价于：

结合定理1可知： 当0φ(t)<x时，有0x(t)<x(t≥0). 所以：

其中₀(t)=0.

(i)(ii)： 不妨设φ(t)≡(t∈[-，0])，则：

根据条件(i)和定理1易知：

下面采用反证法证明k^(l)_j∈R^m_0，+(l∈，j∈n). 不失一般性，设列向量k⁽¹⁾₂的第3个分量k⁽¹⁾₂₃<0，φ(t)=[0，m，0，…，0]^T(m>0，t∈[-，0])，则u₁的第3个分量u₁₃在零点的取值u₁₃(0)=k⁽¹⁾₂₃m<0，这与已知条件矛盾. 定理3证毕.

下面的定理给出了保证闭环系统(13)为正系统并且渐近稳定、 状态和输入受限的充要条件.

定理4 任意给定向量0x_i∈R^m₊(i∈)，下述结论等价：

(i) 闭环系统(13)为正系统且渐近稳定. 当0φ(t)<x(t∈[-，0])时，有：

(ii)存在列向量k⁽ⁱ⁾_j∈R^m_{0， +}(i∈， j∈n)， <x∈Rⁿ₊， 使得

成立，相应的控制增益：

证明

(ii)(i)： 易见若式(18)成立，则式(14)成立. 根据定理3，当0φ(t)<x(t∈[-，0])时，有：

综合式(15)～式(17)， 并结合定理2可知： 闭环系统(13)为正系统且渐近稳定当且仅当：

成立.

(i)(ii)：与定理3证明方法类似. 证毕.

注4 定理2给出保证不确定系统(2)渐近稳定的等价条件. 定理3在稳定性分析的基础上，给出求解状态上界<x的算法. 使得在初始状态不大于该上界的情况下，闭环系统(13)为正系统并且状态有界、 输入受限. 进一步，定理4的算法还保证了闭环系统(13)状态渐近稳定.

注5 一方面，定理1和定理2对于开环系统为非正系统同样适用. 另一方面，对任意连续有界时滞_i(t)≥0(i∈)，定理3和定理4亦成立.

最后，对闭环系统(13)研究相应的状态受限问题.

定理5 对闭环系统(13)以及任意给定的向量x_max∈Rⁿ₊，下述结论等价：

(i) 闭环系统(13)为正系统且渐近稳定. 当0φ(t)<x(t∈[-，0]，<x∈Rⁿ₊)时，有：

(ii)存在列向量k⁽ⁱ⁾_j∈R^m_0，+(i∈，j∈n)，<x∈Rⁿ₊，使得

相应的控制增益

证明 类似定理4，省略.

首先考虑稳定性分析问题.

例1 对系统(2)，选取系统矩阵如下：

当0≤a≤0.577时，式(12)有可行解：

a=0，λ=[92.468 895.385 8]^T

a=0.577，λ=[84.578 5131.563 5]^T

当a≥0.578时，式(12)无解. 根据定理2，当0≤a≤0.577，系统(2)为正系统且渐近稳定； 当a≥0.578时，系统(2)为正系统，但状态不渐近稳定. 图 1～图 4给出了取不同数值时相应的状态轨迹.

图 1 状态变量x1(t)、 x2(t)的时间响应曲线，a=0.3 Fig. 1 Time response curves of the state variables x1(t) and x2(t)when a=0.3

图选项

图 2 状态变量x1(t)、x2(t)的时间响应曲线，a=0.577Fig. 2 Time response curves of the state variables x1(t) and x2(t) when a=0.577

图选项

图 3 状态变量x1(t)、 x2(t)的时间响应曲线，a=0.578Fig. 3 ime response curves of the state variables x1(t) and x2(t) when a=0.578

图选项

图 4 状态变量x1(t)、 x2(t)的时间响应曲线，a=0.6 Fig. 4 ime response curves of the state variables x1(t) and x2(t) when a=0.6

图选项

下面将利用数值算例研究反馈控制器的设计问题.

例2 对闭环系统(13)，假设系统矩阵如下：

不失一般性，选取：

(t)=|sin t|，控制器范围由：

确定. 利用线性规划求解式(18)，可得

x=[15.162 99.027 7)]^T

K₀=[10.896 31.208 1]

K₁=[0.337 00.251 5]

注意到A^*₀M，即开环系统不是正系统. 因此当初始状态非负，其状态轨迹可能超出正象限. 选取初始状态φ(t)=[15, 9]^T，如图 5所示，闭环系统(13)的状态轨迹始终在非负象限内，渐近稳定，同时满足x(t)<x. 相应的，控制输入满足受限条件，如图 6所示. 显然在开环系统为非正系统的情况下，控制器仍能保证闭环系统为正系统并且状态渐近稳定，输入受限. 需要指出的是，利用定理4得到的状态上界<x=[15.162 99.027 7]^T仅为系统的一个可行解，不一定唯一. 所以若存在某个t₁∈[-，0]，使得φ(t₁)，闭环系统(13)仍然有可能为正系统且渐近稳定，同时满足输入受限.

图 5 状态变量x1(t)、 x2(t)的时间响应曲线 Fig. 5 Time response curves of the state variables x1(t) and x2(t)

图选项

图 6 控制输入u0(t)、 u1(t)的时间响应曲线Fig. 6 Time response curves of the control input u0(t) and u1(t)

图选项

例3 对闭环系统(13)，选取系统矩阵如例2所示. 状态变量上界由x_max=[20, 40]^T给定. 根据定理5，利用线性规划求解式(19)可得：

<x=[19.520 9， 11.688 9]^T

K₀=[11.338 6， 2.191 3]

K₁=[0.359 9， 0.358 9]

不失一般性，初始状态取为φ(t)=[19, 11]^T(t∈[-，0]). 从图 7不难看出，闭环系统(13)的状态始终非负，同时满足0<xx_max.

图 7 状态变量x1(t)、 x2(t)的时间响应曲线Fig. 7 Time response curves of the state variables x1(t) and x2(t)

图选项

针对一类输入受限的不确定系统，采用线性规划方法，给出保证闭环系统为正系统并且状态渐近稳定的控制器设计方法. 进一步，将该方法推广应用到状态和输入受限的问题. 仿真结果表明控制算法是有效性的. 进一步的工作是对不确定正系统进行性能分析.