Maximum Power Point Tracking of Wireless Power Transmission System Based on Improved Particle Swarm Optimization
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摘要:
针对磁耦合谐振式无线电能传输（MCRWPT）系统在线圈过耦合时输出功率骤降的问题，提出了以粒子间方差衡量算法进程的自适应粒子群优化（APSO）算法.考虑频率分裂时系统功率和效率的特性，选定跟踪目标点为固有谐振频率右侧的最大功率点.所提的方差型APSO根据方差型算法进程因子动态调整参数，提高算法前期的全局性和后期的收敛性.仿真实验结果表明，所提的方差型APSO在实现MCRWPT系统的最大功率点跟踪时，稳态精度更高，收敛代数更少，算法的优势具有统计学意义.
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关键词:
- 无线电能传输 /
- 频率分裂 /
- 最大功率点跟踪 /
- 粒子群优化(PSO)算法
Abstract:To solve the problem that the output power of the magnetically coupled resonant wireless power transmission (MCRWPT) system drops sharply when the coils are over coupled, we propose an adaptive particle swarm optimization (APSO) algorithm that meassures the algorithm process by particle variance. Using frequency splitting to consider the power and efficiency characteristics of the system, the tracking target point is selected as the maximum power point on the right side of the inherent resonance frequency. The proposed variance APSO algorithm dynamically adjusts the parameters according to its variance process factor, which improves its global performance in the early stage and its convergence in the later stage. Simulations verifiy that the proposed variance APSO algorithm has higher steady-state accuracy and fewer convergence algebras when implementing the maximum power point tracking of the MCRWPT system, and the advantages of the algorithm are statistically significant.
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0. 引言
无线电能传输(WPT)的安全性和灵活性优于有线电能传输，在一些无法布置线路的输电场所具有不可替代的优势. 2007年MIT团队提出的磁耦合谐振式无线电能传输(MCRWPT)系统，实现了线圈弱耦合条件下电能的大功率传输，成为了电气工程领域中最引人瞩目的研究方向之一[1]. 但受导磁技术[2-3]和控制方法[4-6]的制约，MCRWPT技术始终存在着传输效率及功率低、稳定性差等问题[7].
在MCRWPT系统中，传输距离的变化会导致系统耦合情况的改变，进而造成系统最佳工作点偏移，降低传输性能[8-9]. 频率跟踪控制技术是改善最佳工作点偏移问题的有效手段[10]，其中最大功率点跟踪技术可通过改变系统工作频率实现特定耦合情况下的最高功率输出，解决过耦合时由于功率极值点产生分裂所引起的输出功率骤降的问题[11].
从硬件解决方案上，MCRWPT系统的最大功率点跟踪可以采用锁相环(PLL)技术，控制两个最大功率点处初次侧电压V1和初次侧电流I1的相位差均为0°来实现. 文[12]利用PLL实现了SS型和SP型拓扑的V1-I1零相位差跟踪. 但是文[13]指出V1-I1零相位差跟踪无法区分左右两个最大功率点，导致频率在两个最大功率点之间跳变. 文[14]发现了初次侧电压V1和二次侧电流I2在左右两个最大功率点处的相位差不同，分别为180°和0°，根据该特性对右侧最大功率点进行跟踪，有效地避免了频率在两个最大功率点之间的跳变，但是该方案需要增加一次侧和二次侧的通信环节，增加了系统设计难度. 硬件方案虽具有稳定的控制效果，但是大大提高了系统复杂程度和成本. 因此文[15]采用扰动法对频率分裂时的最大功率点进行追踪，但扰动法无法兼顾快速性和稳态精度，并且极易陷入局部最优. 文[16]和文[17]分别采用基于最大间距和基于欧几里得距离的自适应粒子群算法(APSO)实现最大功率跟踪，相比于扰动法提高了最大功率点的全局搜索能力，加快了收敛速度. 在PSO算法中进程是由所有粒子的位置共同决定，同时也和粒子的初始状态有关，而文[16]的算法进程只取决于距离最大的两个粒子，文[17]的算法进程则只取决于当代粒子，这种不合适的算法进程衡量标准影响了算法的精度和快速性. 文[18]以适应度方差减小到阈值作为APSO算法进行到后期的判断条件，但是基于适应度方差衡量算法进程的能力还需验证. 自适应粒子群(APSO)算法在传统PSO的基础上考虑种群整体在迭代过程中的变化，动态调整算法参数. 算法初期粒子需具有全局搜索能力，而到后期，粒子群需要快速收敛从而结束优化过程，因此合理的算法进程衡量标准对于自适应优势的发挥非常重要.
为此，本文通过对MCRWPT系统频率分裂特性的分析，提出一种根据位置方差衡量算法进程的自适应粒子群(APSO)算法，定义位置方差型算法进程因子，动态调整参数，以实现右侧最大功率点的快速、准确跟踪.
1. 频率分裂现象和最大功率点
串—串(SS)型四线圈MCRWPT系统简化的双线圈模型如图 1所示[19]，包括发射回路和接收回路. 发射回路由正弦交流源Vin、发射线圈L1、补偿电容C1及回路电阻R1组成，接收回路由接收线圈L2、补偿电容C2、回路电阻R2及负载电阻RL组成，耦合线圈间的互感为M.
设初次侧回路阻抗为Z1，阻抗的虚部为x；二次侧回路阻抗为Z2，阻抗的实部为RS，虚部为y；系统工作频率为ω. 则：
(1) 由电路理论解得输出功率为
(2) 其中，VL和I2分别是负载两段的电压和流过负载的电流. 互感M是L1、L2的几何平均值和耦合系数k的乘积. 由式(2)，输出功率PL与耦合系数k、频率ω的函数曲线如图 2所示.
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图 2 功率随耦合系数和频率变化的三维图Fig. 2. Three-dimensional diagram of power varying with coupling coefficient and frequency可见，功率PL的两个极大值点和一个极小值点[20]，分别对应着功率的极大值点和极小值点. 两个极大值点对应的频率称为“脊频率”，分别是：
(3) 
(4) 式中，ω0为系统固有的谐振频率，
(5) 欠耦合情况下脊频率ωR1、ωR2和谷频率ωT与固有频率ω0相等，而过耦合时脊频率和谷频率分离，即ωR1 < ωT≈ω0 < ωR2，被称作WPT系统的“频率分裂”. 脊频率始终对应功率的极大值，被称为最大功率点.
文[21]给出了效率η的表达式：
(6) 其中，
2. 基于粒子方差的自适应粒子群算法
粒子群(PSO)算法[22]是一种群体智能的随机算法，通过模拟自然界鸟类捕食的机制，寻找问题的全局最优解，具有收敛速度快、计算量小的优点. 在粒子群算法中，用“粒子”来模拟鸟类，粒子的位置向量X中的每一个元素X(i)代表着一个可行解，粒子的速度向量V中的每一个元素V(i)代表着位置的变化量，当下粒子的位置取决于上一代粒子的位置和当下粒子的速度，而粒子的速度受粒子个体最优位置向量pbest中的pbest(i)和全局最优位置gbest的调节. 粒子的迭代过程可以表示为
(7) 式中，i是粒子当前的代数，c1是个体最优加速常数，c2是群体最优加速常数，ω′是惯性权重系数，r1和r2是两个在[0, 1]区间内的均匀随机数. ω′越大，算法受之前速度的影响越大，对算法的全局性和收敛性都有影响，对全局性的影响更大；c1越大，粒子朝着自身最优位置迁移的可能性越大，算法的全局性越好，相应地收敛性变差；c2越大，粒子朝着群体最优位置迁移的可能性越大，算法的收敛性越好，相应地全局性变差.
本文提出了位置方差型APSO算法，并与现有APSO进行对比. 定义位置方差型进程因子θ为
(8) 式中，X，Xo分别代表当代粒子和初始粒子位置的均值；X(j)，Xo(j)分别代表第j个粒子的当代位置和初始位置；N代表粒子总数. 取：
(9) ω′，c1，c2分别在[ω′min，ω′max]，[c1min，c1max]，[c2min，c2max]的区间内取值. 算法初始化时，当代粒子群的位置X同时也是初始粒子群的位置Xo，位置方差型进程因子θ为1；随着算法的进行，位置X中的元素逐渐向全局最优点靠近，位置方差型进程因子θ总体上呈现减小的趋势；算法即将收敛时，位置X中的元素汇聚在全局最优点附近，位置方差型进程因子θ动态接近于0. 随着算法从初期进行到后期，θ从1逐渐减小为0，而ω′从ω′max变化到ω′min，c1从c1max变化到c1min，c2从c2min变化到c2max. 值得一提的是，由于粒子迁移的随机性，位置方差型进程因子θ可能在迭代初期出现大于1的情况. 当θ>1时，ω′>ω′max且c1>c1max且c2 < c2min，算法初期的全局性得到了更好的改善. 综上，采用位置方差型进程因子θ的APSO同时兼顾了初期的全局搜索能力和后期的收敛性.
3. MCRWPT最大功率点跟踪的方差型APSO算法实现
采用位置方差型APSO实现最大功率点跟踪是一个以功率为目标函数，以系统频率为解空间的单变量单目标寻优过程. 进行右侧最大功率点跟踪的算法实现伪代码如算法1所示.
算法1 右侧最大功率点跟踪算法 1. 算法初始化：粒子个数为N=4；最大迭代次数为M=30；个体加速常数的最大值c1max=3，最小值c1min=1；群体加速常数最大值c2max=3，最小值c2min=1；惯性权重系数的最大值ω′max=1，最小值ω′min=0.5；粒子位置的取值范围是[48 kHz，70 kHz]；粒子速度的取值范围是[-11 kHz，11 kHz]；初始粒子位置X0和速度V0；初始化个体最优pbest和群体最优gbest 2. for代数i←1 to M 3. 将第i代粒子位置X(i)代入式(9)求出第i代算法进程因子θ；将θ代入式(8)更新个体最优加速常数c1，群体最优加速常数c2，惯性权重系数ω′ 4. for粒子j←1 to N 5. 系统在粒子j对应的频率下工作，采样电流和电压并计算功率，功率作为粒子j的适应度fitness(i，j) 6. if fitness(i，j)>pbest(j) 7. 更新粒子j的个体最优值pbest(j) 8. end if 9. if fitness(i，j)>gbest 10. 更新群体最优值gbest 11. end if 12. end for 13. for粒子j←1 to N 14. 为求X(i+1)和V(i+1)，将c1，c2，ω′，X(i，j)和V(i，j)代入式(7)更新粒子j的速度和位置. 若超过取值范围，取边界值 15. end for 16. end for 4. 优化结果及分析
设计WPT系统的固有谐振频率为51 kHz，直流侧输入电压为100 V，电感量为50 μH，负载电阻为20 Ω. 系统的交流输入需要由PWM(pulse width modulation)逆变电路生成，采用同步调制，固定载波比为729. MCRWPT系统的最大功率点位置随耦合情况的变化而变化，如图 3所示.
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图 3 临界耦合和过耦合时的最大功率点Fig. 3. Maximum power point for critical coupling and over coupling如图 3(a)所示，临界耦合的最大功率点在固有谐振频率51 kHz处取得；图 3(b)中过耦合的最大功率点位于固有谐振频率两侧. 运用4种APSO算法对临界耦合、过耦合情况下的最大功率点进行跟踪的功率波形如图 4、图 5所示.
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图 4 4种APSO的最大功率点跟踪波形(k=0.09)Fig. 4. Maximum power point tracking waveforms of four APSO algorithms (k=0.09)![]()
图 5 4种APSO的最大功率点跟踪波形(k=0.2)Fig. 5. Maximum power point tracking waveforms of four APSO algorithms (k=0.2)图 4和图 5显示，位置方差型APSO在完成优化后功率的波动最小，虚线框表示算法收敛后功率的波动范围. 利用平均纹波比衡量4种算法在实现收敛之后的误差水平：
(10) 式中，N是算法收敛后剩余的迭代次数，Pmaxi和Pmini是第i代功率的最大值和最小值. 利用式(10)求出4种APSO算法功率波动的平均值，如表 1所示，位置方差型APSO可以实现更精确的最大功率跟踪.
表 1 4种APSO功率波动的平均值Tab. 1. Average value of power fluctuation of four APSO algorithms耦合情况 欧几里得距离型/W 最大间距型/W 适应度方差型/W 位置方差型/W k=0.09 0.003 0.001 0.001 < 0.001 k=0.2 1.800 0.004 0.004 0.003 过耦合导致最大功率点突变，需重启最大功率跟踪算法，重启条件为
(11) 式中，P0是一个算法周期后功率的全局最优值，P1是系统当前功率. 为临界耦合时的MCRWPT系统施加耦合系数突变的扰动，耦合系数再以第1次优化结束后从0.09突变至0.2，位置方差型APSO在突变耦合情况下最大功率点跟踪的功率波形如图 6所示.
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图 6 位置方差型APSO的最大功率点跟踪波形(k=0.09→k=0.2)Fig. 6. Maximum power point tracking waveform of APSO algorithm based on variance of locations (k=0.09→k=0.2)算法独立运行30次，取算法重启后的收敛代数的平均值作为平均收敛代数. 以基于适应度方差、最大间距和平均欧几里得距离的APSO作为对照组与位置方差型APSO的平均收敛代数作对比. 4种算法的平均收敛代数如图 7所示，30次独立运行中收敛代数的分布如图 8所示.
由图 7可见位置方差型APSO平均在第14代达到最优，基于最大距离的APSO平均在第19代达到最优，基于欧几里得距离的APSO平均在第28代达到最优，基于适应度方差的APSO平均在第22代达到最优.
由图 8可知，4组样本均有正态分布的趋势，因此可利用t检验和F检验衡量三种算法的性能本质上是否存在不同. 以基于位置方差的样本为实验组，分别与基于最大距离、基于欧几里得距离和基于适应度方差的样本进行独立样本检验. F检验的假设为“两个样本的方差具有显著差异”，t检验的假设为“两个样本的均值不具有显著差异”，显著性α设为0.05. 检验结果如表 2所示.
表 2 算法的t检验和F检验结果Tab. 2. The results of t-test and F-test of algorithms对照组 检验结果 F检验 t检验 最大距离 检验统计量 1.73 9.67 置信区间 [-∞，1.43]或[6.31，+∞] [2.82，6.72] 欧氏距离 检验统计量 1.70 31.62 置信区间 [-∞，1.38]或[6.10，+∞] [13.6，17.4] 适应度方差 检验统计量 2.84 5.77 置信区间 [-∞，1.35]或[5.97，+∞] [4.53，9.34] 表 2中的常数代表检验统计量的值，区间代表该检验的置信区间. 由于显著性水平为0.05，因此根据表 2可判断是否有95%的把握认为4种算法在收敛代数上存在显著差异. 在最大距离型和位置方差型的检验中，F值1.73未落在F检验的置信区间内，因此应拒绝F检验的原假设“两个样本的方差具有显著差异”，即应认为“最大距离型和位置方差型的方差不具有显著差异”；t值9.67未落在t检验的置信区间内，因此拒绝t检验的原假设“两个样本的均值不具有显著差异”，即应认为“最大距离型和方差型的均值具有显著差异”. 同理，在欧几里得距离型和位置方差型的检验中，也应认为“欧几里得距离型和位置方差型的方差不具有显著差异”，“欧几里得距离型和位置方差型的均值具有显著差异”；在适应度方差型和位置方差型的检验中，也应认为“适应度方差型和位置方差型的方差不具有显著差异”，“适应度方差型和位置方差型的均值具有显著差异”. 因此，图 7所体现的4种算法在最大功率跟踪性能上的差异具有统计学意义，其中位置方差型APSO能够更快速地实现最大功率跟踪.
5. 结论
MCRWPT系统频率分裂的数学模型显示，系统在过耦合情况下会分裂出两个最大功率点. 本文在已有的采用PSO跟踪最大功率点的方案基础上，提出一种基于位置方差衡量算法进程的自适应(APSO)粒子群算法，用所提算法实现了对WPT系统频率分裂时右侧的最大功率点快速跟踪. 通过对比，本文所提的位置方差型APSO在实现MCRWPT系统的最大功率点跟踪时，稳态精度更高，收敛代数更少，其所具有的优势具有统计学意义.
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图 2 功率随耦合系数和频率变化的三维图
Figure 2. Three-dimensional diagram of power varying with coupling coefficient and frequency
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图 3 临界耦合和过耦合时的最大功率点
Figure 3. Maximum power point for critical coupling and over coupling
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图 4 4种APSO的最大功率点跟踪波形(k=0.09)
Figure 4. Maximum power point tracking waveforms of four APSO algorithms (k=0.09)
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图 5 4种APSO的最大功率点跟踪波形(k=0.2)
Figure 5. Maximum power point tracking waveforms of four APSO algorithms (k=0.2)
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图 6 位置方差型APSO的最大功率点跟踪波形(k=0.09→k=0.2)
Figure 6. Maximum power point tracking waveform of APSO algorithm based on variance of locations (k=0.09→k=0.2)
算法1 右侧最大功率点跟踪算法 1. 算法初始化：粒子个数为N=4；最大迭代次数为M=30；个体加速常数的最大值c1max=3，最小值c1min=1；群体加速常数最大值c2max=3，最小值c2min=1；惯性权重系数的最大值ω′max=1，最小值ω′min=0.5；粒子位置的取值范围是[48 kHz，70 kHz]；粒子速度的取值范围是[-11 kHz，11 kHz]；初始粒子位置X0和速度V0；初始化个体最优pbest和群体最优gbest 2. for代数i←1 to M 3. 将第i代粒子位置X(i)代入式(9)求出第i代算法进程因子θ；将θ代入式(8)更新个体最优加速常数c1，群体最优加速常数c2，惯性权重系数ω′ 4. for粒子j←1 to N 5. 系统在粒子j对应的频率下工作，采样电流和电压并计算功率，功率作为粒子j的适应度fitness(i，j) 6. if fitness(i，j)>pbest(j) 7. 更新粒子j的个体最优值pbest(j) 8. end if 9. if fitness(i，j)>gbest 10. 更新群体最优值gbest 11. end if 12. end for 13. for粒子j←1 to N 14. 为求X(i+1)和V(i+1)，将c1，c2，ω′，X(i，j)和V(i，j)代入式(7)更新粒子j的速度和位置. 若超过取值范围，取边界值 15. end for 16. end for 
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表 1 4种APSO功率波动的平均值
Table 1 Average value of power fluctuation of four APSO algorithms
耦合情况 欧几里得距离型/W 最大间距型/W 适应度方差型/W 位置方差型/W k=0.09 0.003 0.001 0.001 < 0.001 k=0.2 1.800 0.004 0.004 0.003
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表 2 算法的t检验和F检验结果
Table 2 The results of t-test and F-test of algorithms
对照组 检验结果 F检验 t检验 最大距离 检验统计量 1.73 9.67 置信区间 [-∞，1.43]或[6.31，+∞] [2.82，6.72] 欧氏距离 检验统计量 1.70 31.62 置信区间 [-∞，1.38]或[6.10，+∞] [13.6，17.4] 适应度方差 检验统计量 2.84 5.77 置信区间 [-∞，1.35]或[5.97，+∞] [4.53，9.34]
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期刊类型引用(15)
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